Question

7．已知圆C：（x-2）²+y²=4，线段EF在直线l：y=x+1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤0，则线段EF长度的最大值是$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 不妨设圆的切线为PM，PN，则由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤0，得∠APB≥90°，故∠MPN≥90°，求得PC≤2$\sqrt{2}$，结合题意点E、F到点C的距离等于2$\sqrt{2}$．再利用勾股定理求得EF的最大值．

解答 解：由题意，圆心到直线l：y=x+1的距离为$\frac{|2-0+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＞2（半径），故直线l和圆相离．
从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，
不妨设切线为PM，PN，则由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤0，得∠APB≥90°，∴∠MPN≥90°．
∴sin∠MPC=$\frac{2}{PC}$≥sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴PC≤2$\sqrt{2}$．
故在直线l上，当EF最大时，点E、F到点C的距离等于2$\sqrt{2}$．
故EF的长度的最大值为 2$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{7}{2}}$=$\sqrt{14}$，
故答案为：$\sqrt{14}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，直线和圆的位置关系，勾股定理的应用，属于中档题．