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(本小题满分13分)设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,在x轴上有一点B,满足且F1为BF2的中点.

(Ⅰ)求椭圆 C的离心率;

(Ⅱ)若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切,判断椭圆C和直线的位置关系.

 

【答案】

(Ⅰ)椭圆的离心率. (Ⅱ)直线和椭圆相交.                  

【解析】(I)求出左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A的坐标,通过,且AB⊥AF2,推出a,b,c的关系,结合a2=b2+c2,即可求椭圆C的离心率;

(II)利用(I)求出过A、B、F2三点的圆的圆心与半径,利用圆与直线相切圆心到直线的距离等于半径,求出a,b,即可求椭圆C的方程.

(Ⅰ)由题意知

因为,所以在中,.             ……2分

又因为的中点,所以,              ……4分

,所以.故椭圆的离心率.              ……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,于是

的外接圆圆心为,半径.                     ……8分

所以,解得,所以

所以椭圆的标准方程为:.                                       ……11分

得:,可得,所以直线和椭圆相交.           ……13分

 

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