Question

设a为实数，函数f（x）=x|x²-a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，由x∈[-1，1]，知f（x）=-x³+x，故f′（x）=-3x²+1=-3（x-

3

3

）（x+

3

3

），令f′（x）=0，得x=

3

3

，x=-

3

3

，由此能求出函数f（x）在x∈[-1，1]上的最小值、最大值．
（2）当a=0时，f（x）=x³，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；当a＜0时，f（x）=x³-ax，由f′（x）=3x²-a＞0恒成立，知f（x）的增区间为（-∞，+∞）．当a＞0时，x≥

a

或x≤-

a

时，f′（x）=3x²-a=3（x+

a 3

）（x-

a 3

），-

a 3

＞-

a

，

a 3

＜

a

，f（x）的单调减区间为(-∞，-

a

)及(

a

，+∞)．当-

a

＜x＜

a

时，f′（x）=-3x²+a=-3(x+

a 3

)(x-

a 3

)，f（x）的单调增区间为（-

a 3

，

a 3

），f（x）的单调减区间为(-

a

，-

a 3

)，(

a 3

，

a

)．由此能求出函数f（x）的单调区间．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x|x²-1|．
∵x∈[-1，1]，∴f（x）=-x³+x，
则f′（x）=-3x²+1=-3（x-

3

3

）（x+

3

3

），
令f′（x）=0，得x=

3

3

，x=-

3

3

，
∵±

3

3

∈[-1，1]，
f（-1）=1-1=0，
f（-

3

3

）=-（-

3

3

）³-

3

3

=-

2 3

9

，
f（

3

3

）=(

3

3

)3-

3

3

=

2 3

9

，
f（1）=-1+1=0，
∴函数f（x）在x∈[-1，1]上的最小值为-

2 3

9

，最大值为

2 3

9

．
（2）（i）当a=0时，f（x）=x³，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．
（ii）当a＜0时，f（x）=x³-ax，
∵f′（x）=3x²-a＞0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴f（x）的增区间为（-∞，+∞）．
（iii）当a＞0时，①当x≥

a

或x≤-

a

时，f（x）=x³-ax，
因为f′（x）=3x²-a=3（x+

a 3

）（x-

a 3

），-

a 3

＞-

a

，

a 3

＜

a

，
所以，当x≤-

a

或x≥

a

时，f′（x）＞0，
从而f（x）的单调增区间为(-∞，-

a

)及(

a

，+∞)．
②当-

a

＜x＜

a

时，f（x）=-x³+ax，
f′（x）=-3x²+a=-3(x+

a 3

)(x-

a 3

)，
令f′（x）=0，得x=

a 3

，x=-

a 3

，
列表，得

x	（- a ，- a 3 ）	- a 3	（- a 3 ， a 3 ）	a 3	（ a 3 ， a ）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓

∴f（x）的单调增区间为（-

a 3

，

a 3

），f（x）的单调减区间为(-

a

，-

a 3

)，(

a 3

，

a

)．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)及(-

a 3

，

a 3

)，
f（x）的单调减区间为(-

a

，-

a 3

)，(

a 3

，

a

)．

点评：本题考查闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类讨论时因分类不清容易出错．解题时要认真审题，仔细解答．