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对于定义域为G的函数f(x),如果同时满足下列两个条件:①f(x)在G内是单调函数;②存在区间[a,b]⊆G,使f(x)在[a,b]上的值域亦为[a,b],那么就称f(x)为好函数.
(Ⅰ)判断函数f(x)=
lnx
ex
+1在(0,+∞)上是否为好函数?并说明理由;
(Ⅱ)求好函数f(x)=-x3+1符合条件的一个区间[a,b];
(Ⅲ)若函数f(x)=m+
x+2
是好函数,求实数m的取值范围.
分析:(I)求出函数的导函数,由f′(e)<0,f′(1)>0,可得f(x)=
lnx
ex
+1在(0,+∞)上不是单调函数,再由好函数的定义,可得结论
(Ⅱ)由f(x)=-x3+1在[a,b]上减函数,可得f(a)=b,f(b)=a,即
b=-a3+1
a=-b3+1
且a<b,解方程组求出a,b值可得符合条件的区间[a,b];
(III)利用导数法可得f(x)=m+
x+2
在[-2,+∞)上为增函数,若函数f(x)=m+
x+2
是好函数,则
a=m+
a+2
b=m+
b+2
,即a,b是方程x=m+
x+2
的两个相异实根,即
x2-(2m+1)x+m2-2=0
x≥-2
x≥m
两个相异实根,令f(x)=x2-(2m+1)x+m2-2,分m≤-2时,和m>-2时两种情况讨论m的取值范围,最后综合讨论结果可得答案.
解答:解:(Ⅰ)∵函数f(x)=
lnx
ex
+1
∴f′(x)=
ex
x
-ex•lnx
e2x
=
ex•(
1
x
-lnx)
e2x
    …(1分)
又∵f′(e)<0,f′(1)>0,
∴f(x)=
lnx
ex
+1在(0,+∞)上不是单调函数…(1分)
∴f(x)=
lnx
ex
+1在(0,+∞)上不是好函数 …(1分)
(Ⅱ)∵f(x)=-x3+1在[a,b]上减函数
∴f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b)
故函数f(x)的值域为[f(b),f(a)]…(1分)
∴f(a)=b,f(b)=a
b=-a3+1
a=-b3+1
且a<b                 …(1分)
∴解得a=0,b=1,故符合条件的一个闭区间为[0,1]…(1分)
(Ⅲ)∵f(x)=m+
x+2
是好函数,
∴存在区间[a,b]⊆[-2,+∞),使f(x)=m+
x+2
在[a,b]上的值域亦为[a,b]…(1分)
∵f′(x)=
1
2
x+2
>0恒成立
故f(x)=m+
x+2
在[-2,+∞)上为增函数
a=m+
a+2
b=m+
b+2

∴a,b是方程x=m+
x+2
的两个相异实根,且a<b
x=m+
x+2
得:x2-(2m+1)x+m2-2=0
x2-(2m+1)x+m2-2=0
x≥-2
x≥m
两个相异实根
令f(x)=x2-(2m+1)x+m2-2
(ⅰ)当m≤-2时,可得
2m+1
2
>-2
△=(2m+1)2-4(m2-2)>0
g(-2)=22+2(2m+1)+m2-2≥0

解得:m>-
9
4

-
9
4
<m≤-2                           …(2分)

(ⅱ)当m>-2时,
2m+1
2
>m
△=(2m+1)2-4(m2-2)>0
g(m)=2=m2+m(2m+1)+m2-2≥0


解得-
9
4
<m≤-2,不符合题意
故综上,m的取值范围为-
9
4
<m≤-2        …(2分)
【注】:对(Ⅲ),若不讨论但答案对,则扣(2分).
点评:本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明,函数与方程的综合应用,正确理解“好函数”的定义,并能根据定义,归纳整理解答相关问题的方法和步骤是解答的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足:
①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].
则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
(1)证明:[0,1]是函数y=f(x)=x2的一个“和谐区间”.
(2)求证:函数y=g(x)=3-
5
x
不存在“和谐区间”.
(3)已知:函数y=h(x)=
(a2+a)x-1
a2x
(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n-m的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义域为I的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆I,同时满足:①f(x)在[m,n]内是单调函数;②当定义域是[m,n],f(x)值域也是[m,n],则称[m,n]是函数y=f(x)的“好区间”.
(1)设g(x)=loga(ax-2a)+loga(ax-3a)(其中a>0且a≠1),判断g(x)是否存在“好区间”,并说明理由;
(2)已知函数P(x)=
(t2+t)x-1t2x
(t∈R,t≠0)
有“好区间”[m,n],当t变化时,求n-m的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义域为D的函数f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内有单调性;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上的值域也为[a,b],则称f(x)为D上的“和谐”函数,[a,b]为函数f(x)的“和谐”区间.
(Ⅰ)求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间;
(Ⅱ)判断函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
是否为“和谐”函数?并说明理由.
(Ⅲ)若函数g(x)=
x+4
+m
是“和谐”函数,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

对于定义域为G的函数f(x),如果同时满足下列两个条件:①f(x)在G内是单调函数;②存在区间[a,b]⊆G,使f(x)在[a,b]上的值域亦为[a,b],那么就称f(x)为好函数.
(Ⅰ)判断函数f(x)=数学公式+1在(0,+∞)上是否为好函数?并说明理由;
(Ⅱ)求好函数f(x)=-x3+1符合条件的一个区间[a,b];
(Ⅲ)若函数f(x)=m+数学公式是好函数,求实数m的取值范围.

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