Question

12、如图，P 是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC．若O和Q分别是△ABC和△PBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC．

Answer 1

分析：根据三垂线定理得BC⊥PE，则BC⊥平面PAE，根据线面垂直的性质可知BF⊥平面PAC，因而FM是BM在平面PAC内的射影，据三垂线定理的逆定理可得FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM．根据线面垂直的性质可知OQ⊥PC，OQ⊥BC，满足线面垂直的判定定理．

解答：证明：∵O是△ABC的垂心，∴BC⊥AE．∵PA⊥平面ABC，根据三垂线定理得BC⊥PE．
∴BC⊥平面PAE．∵Q是△PBC的垂心，故Q在PE上，则OQ?平面PAE，∴OQ⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BF?平面ABC，∴BF⊥PA，又∵O是△ABC的垂心，
∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC．因而FM是BM在平面PAC内的射影．
因为BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理，FM⊥PC，
从而PC⊥平面BFM．又OQ?平面BFM，所以OQ⊥PC．
综上知OQ⊥BC，OQ⊥PC，
所以OQ⊥平面PBC．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及三垂线定理与逆定理的运用，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．