Question

已知椭圆与双曲线有共同的焦点，F₁(0,4)，F₂(0,4)，并且椭圆的长轴点是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹方程。

        

Answer 1

解法一：设椭圆与双曲线的交点为P  ，由椭圆、双曲线定义，及已知条件得：

        

         或

         即    

         化简得    

         或

         即：

         化简得：

         ∴ 所求轨迹方程为      

         轨迹是两个圆除去与y轴的交点。

         解法二：由题意设双曲线的实半轴长为a 

         则椭圆的半长就是a

         又∵ c = 4       

         为椭圆半短轴

         为双曲线的虚轴

         则椭圆方程为……（1）

         双曲线方程为……（2）

         由（1）×4－（2）得

        

         即 ……（3）

         （3）代入（2）得：

        

         代回（2）中消去a得           

         若     

        

         即

         即    

        

         则所求的轨迹是两个圆除去它们与y轴的交点，方程是：

        

                                              

解析:

通过椭圆和双曲线定义，建立动点满足的几何条件，再坐标化而得到轨迹方程。

或由焦点已知曲线中收为原点，坐标轴为对称轴，再需一个条件用待定系法也可求轨迹方程。解法一是将“a”当作参数引进后来后建立方程，不如解法一直接使用定义寻找到动点满足的几何关系简单。