Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（2）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA||PB|，并求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，

则c2+b2=a2；

由题意，△F1F2C为直角三角形，

∴ ，解得b=c= a，

∴椭圆E的方程为 =1；

代人直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，

又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，

∴椭圆E的方程为 =1；

由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）

（2）

证明：设P（x0，3﹣x0）在l上，由kOT= ，l′平行OT，

得l′的参数方程为 ，

代人椭圆E中，得 +2 =6，

整理得2t2+4t+ ﹣4x0+4=0；

设两根为tA，tB，则有tAtB= ；

而|PT|2= =2 ，

|PA|= =| tA|，

|PB|= =| tB|，

且|PT|2=λ|PA||PB|，

∴λ= = = ，

即存在满足题意的λ值．

【解析】（1）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；
（2）设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代人椭圆E的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA||PB|求出λ的值．
本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．