Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

(1) 求证：平面BCD；

(2) 求异面直线AB与CD所成角余弦的大小；

(3) 求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

解：(1) 证明：连结OC，

　　　

　　　　 ………… 1分

　　　 ，． ……… 2分

　　　 在中，

由已知可得 …………3分

而， ∴ ……… 4分　　　　 ∴即 ………………… 5分

　　　 ∴平面． …………… 6分

　　　 (2) 解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

∴，……………　 9分

　　　 ∴ 异面直线AB与CD所成角余弦的大小为．……　 10分

　　　 (3) 解：设平面ACD的法向量为则

　　　 ，∴ ，

令得是平面ACD的一个法向量．

　　　 又　 ∴点E到平面ACD的距离 ．………　 14分

(3) （法二）解：设点E到平面ACD的距离为．

　 　 ，

∴ …………………………12分

　 　　 在中，,

　 　 ∴,

而，．

　　　 　 ∴，

∴点E到平面ACD的距离为…………… 14分