Question

设F₁、F₂是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=-

3

2

a上一点，△F₁PF₂是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  4

• D、

  4

  5

Answer 1

分析：由△F₁PF₂是底角为30°的等腰三角形，得|PF₁|=|F₁F₂|且∠PF₁F₂=120°，设x=-

3

2

a交x轴于点M，可得|PF₁|=2|F₁M|，由此建立关于a、c的等式，解之即可求得椭圆E的离心率．

解答：解：设x=-

3

2

a交x轴于点M，
∵△F₁PF₂是底角为30°的等腰三角形
∴∠PF₁F₂=120°，|PF₁|=|F₂F₁|，且|PF₁|=2|F₁M|．
∵P为直线x=-

3

2

a上一点，
∴2（-c+

3a

2

）=2c，解之得3a=4c
∴椭圆E的离心率为e=

c

a

=

3

4

故选：C

点评：本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．