Question

设函数f(x)的定义域、值域均为R，f(x)的反函数f^-1(x)，且对任意实数x，均有f(x)+f^-1(x)＜x，定义数列{a_n}:a₀=8,a₁=10,a_n=f(a_n-1),n=1,2,…

(1)求证：a_n+1+a_n-1＜a_n(n=1,2,…)；

(2)设b_n=a_n+1-2a_n，n=0,1,2,…,求证：b_n＜(-6)()ⁿ(n∈N^*).

(3)是否存在常数A和B，同时满足

①当n=0及n=1时，有a_n=成立；

②当n=2,3,…时，有a_n＜成立.

如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论.

Answer 1

答案：(1)证明：∵f(x)+f^-1(x)＜x,令x=a_n,∴f(a_n)+f^-1(a_n)＜a_n,

即a_n+1+a_n-1＜a_n.                                                            

(2)证明：∵a_n+1＜a_n-a_n-1,∴a_n+1-2a_n＜(a_n-2a_n-1),

即b_n＜b_n-1.∵b₀=a₁-2a₀=-6,

∴b_n＜()ⁿb₀=(-6)()ⁿ(n∈N^*).                                                

(3)解：由(2)知：a_n+1＜2a_n+(-6)()ⁿ,

假设存在常数A和B，使得a_n=对于n=0、1成立，则a₀=A+B=8,a₁==10,

解得A=B=4.                                                                

下面用数学归纳法证明a_n＜对于n=2,3,…成立.

①当n=2时，由a_n+1+a_n-1＜a_n得a₂＜a₁-a₀=×10-8=17=,

∴n=2时，a_n＜成立.

②假设n=k(k≥2)时,不等式成立，即a_k＜,

则a_k+1＜2a_k+(-6)()^k＜2×+(-6)()^k=.

这说明n=k+1时，不等式成立.

综合①②可知：a_n＜对于n=2,3,…成立.

∴A=B=4满足题设.