Question

已知四棱锥S-ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分别为AB、SC中点．
（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的表面积；
（Ⅱ）求证：MN∥平面SAD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件可得△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，再根据S_表面积=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD 运算求得结果．
（Ⅱ）取SD中点P，利用三角形的中位线的性质证得AMNP是平行四边形，可得MN∥AP．再根据直线和平面平行的判定的定理证得MN∥平面SAD．

解答：解：（Ⅰ）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC．
又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，（3分）
∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD．
又∵SB=

2

a，∴S_表面积=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD
=2×

1

2

a2+2×

1

2

a•

2

a+a2=(2+

2

)a2．（7分）
（Ⅱ）取SD中点P，连接MN、NP、PA，则NP=

1

2

CD，且NP∥CD．（9分）
又AM=

1

2

CD，且AM∥CD，∴NP=AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四边形．（12分）
∴MN∥AP，而AP?平面SAD，MN不在平面SAD内，∴MN∥平面SAD．    （14分）

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定的定理的应用，求多面体的表面积，属于中档题．