Question

已知外接圆的半径为，且．
（Ⅰ）求边的长及角的大小；
（Ⅱ）从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，试判断的形状．

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）为等边三角形.

解析试题分析：（Ⅰ）先利用的定义结合计算出的大小，然后在中利用余弦定理即可求出边的长，对于角的大小可以根据性质“同弧所对的圆周角是圆心角的一半来计算；（Ⅱ）先利用几何概型计算出的面积，然后利用三角形的面积公式及余弦定理等求出的三条边、、的大小，进而确定的形状.
试题解析：（Ⅰ）依题意，      2分
得，又，故， 4分
又为等腰三角形， 故，      5分
而或．      6分
（Ⅱ）依题意，从圆内随机取一个点，取自内的概率，
可得．      8分
设，.设，由，得，   ① 
由，得，   ②
联立①②得,这是不可能的. 所以必有.       9分
由，得，   ①
由，得，  ②   11分
联立①② 解得.
所以为等边三角形．      12分
考点：平面向量的数量积、圆周角定理、余弦定理、几何概型、三角形的面积公式