Question

某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持米的距离，其中a为常数且，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y（秒）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．

Answer 1

【答案】分析：（1）自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间y等于隧道长加车长加车的间隙长，除以火车的速度x米/秒，依题意列出函数解析式并化简即可
（2）由函数y=的性质，当x=时，函数取得最小值，但由于定义域为（0，20]，故需要比较x=与定义域的位置关系，分≤a≤1，≤a＜两种情况讨论函数的最小值及取最小值时函数自变量的取值
解答：解：（1）依题意，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间y等于隧道长加车长加车的间隙长，除以火车的速度x米/秒，
即  y=
=    （0＜x≤20，≤a≤1）
（2）令，得x=，又由=20，得a=
∴①当≤a≤1时，≤20
由均值定理知当且仅当x=时，y=≥2+18=180+18
即当x=时，y_min=180+18
②当≤a＜时，＞20
∵y′=-+9a＜0，（0＜x≤20）
∴函数y=在（0，20]上是减函数，
∴当x=20时，y_min=+180a+18=153+180a
答：若≤a＜，则当车队速度为20m/s时，通过隧道所用时间最少；若≤a≤1，则当车队速度为m/s时，通过隧道所用时间最少
点评：本题考查了将应用问题转化为数学问题的能力，求函数解析式的方法，利用函数性质求函数最值的方法，分类讨论的思想方法