Question

（2007•威海一模）已知函数f（x）=x³+ax²+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）若 a＞0，且f（x）的极大值为5，极小值1，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数和极值之间的关系建立方程组，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函数，则f'（x）≥0在（-∞，-

1

2

）恒成立，然后分类讨论．

解答：解：（I）∵f（x）=x³+ax²+b，所以f'（x）=3x²+2ax，由f'（x）=3x²+2ax=0，解得x=0或x=-

2a

3

，
因为 a＞0，所以x=-

2a

3

＜0，
当f'（x）＞0时，解得x＜-

2a

3

或x＞0，此时函数单调递增．
当f'（x）0时，解得-

2a

3

＜x＜0，此时函数单调递减．
所以当x=-

2a

3

时，函数取得极大值，当x=0时，函数取得极小值．
即f(-

2a

3

)=-(-

2a

3

)3+a(-

2a

3

)2+b=5，f（0）=b=1，
解得a=3，b=1．
∴所求的函数解析式是f（x）=-x³+3x²+1．…（6分）
（II）由上问知当x=0或x=-

2a

3

时，f'（x）=0．
①当a＞0时，x=-

2a

3

＜0．函数f（x）在（-∞，-

2a

3

）和（0，+∞）上是单调递增函数，在（-

2a

3

，0）上是单调递减函数．
∴若f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函数，则必有-

1

2

≤-

2a

3

，解得0＜a≤

3

4

．
②当a＜0时，-

2a

3

＞0．函数f（x）在（-∞，0）和（-

2a

3

，+∞）上是单调递增函数，
在（0，-

2a

3

）上是单调递减函数．显然满足f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函数．
③当a=0时，-

2a

3

=0．函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调递增函数，
也满足f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函数．
∴综合上述三种情况，所求a的取值范围为(-∞，

3

4

]．…（12分）

点评：本题主要考查函数的单调性，极值与导数之间的关系，要求熟练掌握导数在研究函数中的应用．