Question

设a＞0，函数f（x）=lnx-ax，g（x）=lnx-
（1）证明：当x＞1时，g（x）＞0恒成立；
（2）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）有两个相异零点x₁、x₂，求证：x₁x₂＞e²．

Answer 1

（1）证明：，由于已知x＞1，∴g'（x）＞0恒成立∴g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）＞g（1）=0
∴x＞1时，g（x）＞0恒成立．
（2）f（x）=lnx-ax的定义域是（0，+∞），f′（x）==，
由于a＞0，x＞0，令f′（x）＞0，解得，
∴f（x）在上递增，在上递减．
∴，欲使函数f（x）无零点，则只要-lna-1＜0，即lna＞-1，∴．
故所求a的范围是．
（3）因为f（x）有两个相异的零点，又由于x＞0，
故不妨令x₁＞x₂＞0，且有lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂ ，∴lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
要证
令，则t＞1，故只要证明时恒成立，
而由（1）知t＞1时，恒成立，即lnt＞恒成立，从而证明．
故x₁x₂＞e²．
分析：（1）可转化为证明当x＞1时，g（x）_min＞0，从而可用导数求函数g（x）的最小值．
（2）利用导数研究函数f（x）在定义域上的单调性、最值，再结合其图象即可得出a的限制条件；
（3）不妨令x₁＞x₂＞0，用分析法对x₁x₂＞e²进行等价转化，最后可构造函数借助（1）问结论得证．
点评：本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决．本题（3）问难度较大，需要恰当构造函数借助（1）问结论解决．