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    某企业生产某种机器的固定成本为0.5万元，每生产1百台机器的可变成本为0.25万元．已知市场对此产品的年需求量为5百台，销售收入R(单位：万元)与产品的年产量x(单位：百台)的函数关系式为R(x)＝5x－0.5x2(0≤x≤5)．求：

    (1)该产品的年利润与年产量之间的函数关系式f(x)；

    (提示：－0.5x2＋4.75x－0.5≥04.75－≤x≤4.75＋)

    (2)年产量为多少时，该企业的年利润最大？

    (3)年产量为多少时，该企业不亏本？

    答案：
    解析：

    　　解：(1)当0≤x≤5时，产品能全部售出，

    　　则年利润为f(x)＝5x－0.5x2－0.25x－0.5＝－0.5x2＋4.75x－0.5．

    　　当x＞5时，只能销售产品5百台，

    　　则年利润为f(x)＝12.5－0.25x－0.5＝－0.25x＋12．

    　　综上可知，该产品的年利润与年产量之间的函数关系式为f(x)＝

    　　(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－0.5(x－4.75)2＋10.78125，

    　　因为x＝4.75∈[0，5]，所以，当0≤x≤5时，f(x)max＝10.78125．

    　　当x＞5时，函数f(x)单调递减，则f(x)＜－0.25×5＋12＝10.75＜10.78125．

    　　综上可知，当年产量为4.75百台，即475台时，该企业的年利润最大．

    　　(3)若使企业不亏本，则f(x)≥0，

    　　所以或

    　　解得4.75－≤x≤5，或5＜x≤48，

    　　其中4.75－≈0.106．

    　　所以，年产量在11台到4800台之间时，该企业不亏本．

    　　点评：解本题时，应弄清楚固定成本、可变成本、年利润、年产量、不亏本等关键词及函数关系式R(x)＝5x－0.5x2(0≤x≤5)的含义．其中，固定成本与年产量无关，可变成本与年产量有关，年利润＝年销售收入－固定成本－可变成本，不亏本就是利润不小于0．理解题中关键词及函数关系式的含义后，就可以建立函数模型，结合函数知识求最值．另外，要特别注意分类讨论思想的应用．


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