Question

设函数f(x)的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a>0，使f(a)=1，又，

（1）写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；

（2）判断并证明函数f(x)的奇偶性；

（3）若存在正常数T，使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立，则都称f(x)是周期函数，T为周期；试问f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由。

Answer 1

（1）见解析（2）奇函数（3）见解析

解析:

（1）取f(x)=tanx，定义域为{x∣x≠kπ+，k∈Z}关于原点对称，且0∈D；

且存在常数使得f(a)=tana=1；

又由两角差的正切公式知，符合。                          ……4分

（2）f(x)是D上的奇函数；证明如下：f(0)=0，取x₁=0，x₂=x，由，

得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是D上的奇函数；                                                           ……4分

（3）考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜测4a是f(x)的一个周期。

证明：由已知，则

，

。

所以f(x)是周期函数，4a是f(x)的一个周期。                                                  ……7分