Question

已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F₁和F₂．
（1）求椭圆方程；
（2）点M在椭圆上，求△MF₁F₂面积的最大值；
（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意设椭圆标准方程为．
由已知得，．（2分）
则，∴．解得a²=6（4分）
∴所求椭圆方程为（5分）

（2）令M（x₁，y₁），则（7分）
∵点M在椭圆上，∴，故|y₁|的最大值为（8分）
∴当时，的最大值为．（9分）

（3）假设存在一点P，使，
∵，∴，（10分）
∴△PF₁F₂为直角三角形，∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4 ①（11分）
又∵ ②（12分）
∴②²-①，得2|PF₁|•|PF₂|=20，∴，（13分）
即=5，由（1）得最大值为，故矛盾，
∴不存在一点P，使．（14分）
分析：（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得，根据a²=b²+c²求出a的值，即求出椭圆标准方程；
（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值；
（3）先假设存在点P满足条件，根据向量的数量积得，根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两个方程，求出的值，结合（2）中三角形面积的最大值，判断出是否存在点P．
点评：本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a²=b²+c²求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．