Question

若已知函数f（x）=e^x+x²-x，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，则k的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：函数f（x）=e^x+x²-x对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，等价于f（x）=e^x+x²-x在[-1，1]内满足其最大值与最小值的差小于等于k．
解答：解：∵f（x）=e^x+x²-x，
∴f′（x）=e^x+2x-1，
由f′（x）=e^x+2x-1=0，得x=0．
∵f（-1）=+2，f（1）=e，f（0）=1．
∴函数f（x）=e^x+x²-x在[-1，1]内的最大值是e，最小值是1．
∴函数f（x）=e^x+x²-x，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1．
∵函数f（x）=e^x+x²-x对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，
∴k≥e-1．
∴k的取值范围为[e-1，+∞）．
故答案为：[e-1，+∞）．
点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题的关键是要分析出|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min．