Question

设函数f(x)=,函数g(x)=x³+ax²-2x分别在x=m和x=n处取得极值,且m＜n.

(1)求f(m)·f(n)的值;

(2)求证:f(x)在区间［m,n］上是增函数;

(3)设f(x)在区间［m,n］上的最大值和最小值分别为M和N,试问当实数a为何值时,M-N取得最小值?并求出这个最小值.

Answer 1

解:(1)g′(x)=2x²+2ax-2=0的两根为m,nm+n=-a,mn=-1,

f(m)×f(n)=·=-1.

(2)证明：f′(x)==.

m≤x≤n,f′(x)≥0f(x)在区间［m,n］上为增函数.

(3)由(2)可知M=f(n),N=f(m),f(n)·f(m)=-1f(n)＞0,

M-N=f(n)-f(m)=f(n)+≥2f(n)=1时取等号,

必有f(m)+f(n)=0.

又f(m)+f(n)=+

==0.

整理可得2mn(m+n)+2a=0a=0.

又可验证此时f(n)=1a=0,(M-N)_min=2.