Question

已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱A₁A、CC₁的中点，求四棱锥C₁—B₁EDF的体积.

Answer 1

解法一:连结A₁C₁、B₁D₁交于O₁，过O₁作O₁H⊥B₁D于H，

    ∵EF∥A₁C₁,

    ∴A₁C₁∥平面B₁EDF.

    ∴C₁到平面B₁EDF的距离就是A₁C₁到平面B₁EDF的距离.

    ∵平面B₁D₁D⊥平面B₁EDF，

    ∴O₁H⊥平面B₁EDF，即O₁H为棱锥的高.

    ∵△B₁O₁H∽△B₁DD₁,

    ∴O₁H==a,

    =·O₁H=··EF·B₁D·O₁H=··a·a·a=a³.

解法二:连结EF，设B₁到平面C₁EF的距离为h₁,D到平面C₁EF的距离为h₂,则h₁+h₂=B₁D₁=a,

    ∴=+=··(h₁+h₂)=a³.

解法三:=--=a³.