Question

17．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=3，BC=3，CC₁=$\sqrt{3}$，P是BC₁上一动点，则CP+PA₁的最小值是$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 本题考查图形的展开，直线距离最小；连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，连A₁C，则A₁C的长度就是所求的最小值．

解答 解：连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，如图所示，连A₁C，则A₁C的长度就是所求的最小值

A₁C₁=3，CC₁=$\sqrt{3}$，BC=3，A₁B=$\sqrt{21}$，△CBC₁是直角三角形，根据边长关系可知∠CC₁B=60°
△A₁BC₁根据边长关系可知∠A₁C₁B=90°
∴∠A₁C₁C=150°
利用余弦定理：$C{{C}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}-2$A₁C₁•CC₁•cos50°=${A}_{1}{C}^{2}$
∴A₁C=$\sqrt{21}$
故答案为$\sqrt{21}$．

点评 本题考查棱柱的结构特征，图形的展开，直线距离最小；连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，连A₁C，则A₁C的长度就是所求的最小值，同时利用到利用余弦定理．空间问题有时候是可以转化成平面问题来解决的．属于中档题．