Question

AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，则下列命题：①以AB为直径作圆则此圆与准线l相交；②MF⊥NF；③AQ⊥BQ；④QB∥MF；⑤A、O、N三点共线（O为原点），正确的是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据抛物线的定义，可知AP+BP=AM+BN，从而，所以以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故可判断①错，③对；由AP=AF可知∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，从而可判断②④正确；
对于 ⑤，不妨设抛物线方程为y²=2px，直线AB：，从而可证明k_OA=k_ON，故可判断．
解答：解：由题意，AP+BP=AM+BN
∴，∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故①错，③对；
由AP=AF可知∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，从而②④正确；
对于 ⑤，不妨设抛物线方程为y²=2px，直线AB：
联立可得y²-2kpy-p²=0
设，，则
∴，
∵y₁y₂=-p²，∴k_OA=k_ON，故⑤正确
故答案为②③④⑤
点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强．