Question

（2012•香洲区模拟）已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=

3

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，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂，点M是椭圆上异于A_l，A₂的任意一点，设直线MA₁，MA₂的斜率分别为kMA1，kMA2，证明kMA1，kMA2为定值．

Answer 1

分析：（I）设椭圆的方程，利用离心率e=

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，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）利用M点在椭圆上，计算斜率，化简即可得到结论．

解答：（I）解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵离心率e=

3

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，∴a²=3c²，∴b²=2c²
∵直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切
∴b=

2

2

=

2

∴c²=1
∴a²=3
∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）证明：由椭圆方程得A₁（-

3

，0），A₂（

3

，0），
设M点坐标（x₀，y₀），则

x02

3

+

y02

2

=1
∴y02=

2

3

(3-x02)
∴kMA1•kMA2=

y0

x0+ 3

×

y0

x0- 3

=

y02

x02-3

=

2 3 (3-x02)

x02-3

=-

2

3

∴kMA1•kMA2是定值-

2

3

是定值．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．