Question

已知函数f（x）的定义域为D，若它的值域是D的子集，则称f（x）在D上封闭．
（Ⅰ）试判断f（x）=2^x，g（x）=log₂x是否在（1，+∞）上封闭；
（Ⅱ）设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），若f_n（x）（n∈N^*）的定义域均为D，求证：f_n（x）在D上封闭的充分必要条件是f₁（x）在D上封闭；
（Ⅲ）若a＞0，求证：h（x）=

2

2

（|xsinx|+|xcosx|）在[0，a]上封闭，并指出值域为[0，a]时a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数封闭的定义封闭求出两个函数的值域即可判断f（x）=2^x，g（x）=log₂x是否在（1，+∞）上封闭；
（Ⅱ）根据封闭的定义，即可证明f_n（x）在D上封闭的充分条件是f₁（x）在D上封闭，利用反证法即可证明f_n（x）在D上封闭的必要条件是f₁（x）在D上封闭；
（Ⅲ）求出|sinx|+|cosx|的取值范围为[1，

2

]，由0≤x≤a，推出0≤h（x）≤a，即封闭，由|sina|+|cosa|=

2

，推出a=

π

4

+kπ（k∈N）．

解答： 解：（Ⅰ）当x＞1时，f（x）=2^x∈（2，+∞），f（x）在（1，+∞）上封闭，
g（x）=log₂x∈（0，+∞），g（x）在（1，+∞）上不封闭；
（Ⅱ）证明：设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），
先证：f_n（x）在D上封闭的充分条件是f₁（x）在D上封闭，
任取x∈D，∵f₁（x）在D上封闭，∴f₂（x）=f（f₁（x））∈D，…，f_n（x）=f（f_n-1（x）））∈D，
∴f_n（x）在D上封闭的充分条件是f₁（x）在D上封闭；
再证：f_n（x）在D上封闭的必要条件是f₁（x）在D上封闭．
考虑运用反证法，假设f₁（x）在D上不封闭，即存在x₀∈D，使得f（x₀）∉D，
那么f₂（x₀）=f（f₁（x₀））无意义，这与f_n（x）（n∈N^*）的定义域均为D矛盾，故假设不成立，
即f₁（x）在D上封闭是f_n（x）在D上封闭的必要条件．
故f_n（x）在D上封闭的充分必要条件是f₁（x）在D上封闭；
（Ⅲ）证明：∵a＞0，0≤x≤a，
∴h（x）=

2

2

（|xsinx|+|xcosx|）=

2

2

x（|sinx|+|cosx|），
∵|sinx|+|cosx|=

sin2x+cos2x+|sin2x|

=

1+|sin2x|

∈[1，

2

]，
∴0≤h（x）≤

2

2

•a•

2

=a，
∴h（x）在[0，a]上封闭；
若值域为[0，a]，由上面可知，|sinx|+|cosx|=

2

，
则h（x）≤

2

2

•x•

2

=x≤a，
即|sina|+|cosa|=

2

，
∴a=

π

4

+kπ（k∈N）．

点评：本题主要考查函数值域的求法，以及与函数有关的新定义，利用反证法是解决本题的关键，综合性较强