Question

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，E为边AB的中点．
（I）求△ABC的周长；
（II）求△ABC的内切圆的半径与△CAE的面积．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵a=1，b=2，cosC=，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：c²=1+4-1=4，
解得：c=2，
则△ABC的周长为1+2+2=5；…（6分）
（Ⅱ）∵cosC=，且C为三角形的内角，
∴sinC=，
设△ABC的内切圆半径为r，则有S_△ABC=absinC=（a+b+c）r，
∴×1×2×=×5×r，
解得：r=，
又E为AB的中点，
∴S_△CAE=S_△ABC=．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，将a，b及cosC的值代入，开方求出c的值，即可得到三角形的周长；
（Ⅱ）由cosC的值，及C为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，设三角形ABC的内切圆半径为r，连接三角形内心与三个顶点，将三角形ABC分为三个高都为r的三角形，可得出三角形的面积等于周长乘以r的一半，表示出三角形的面积，再利用三角形的面积公式表示出三角形的面积，将三角形的周长，a，b及sinC的值代入求出r的值；由E为AB的中点，利用等底同高得到三角形CAE的面积为三角形ABC面积的一半，求出即可．
点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角形内切圆性质，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．