Question

一个公差不为0的等差数列{a_n}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}的第1、3、5项.

(1)求{a_n}各项的和S；

(2)记{b_n}的末项不大于，求{b_n}项数的最值N；

(3)记{a_n}前n项和为S_n，{b_n}前N项和为T_n，问是否存在自然数m，使S_m=T_n.

Answer 1

解：设{a_n}公差为d，a₁=5,a₄=5+3d,a₁₆=5+15d分别为{b_n}的第1、3、5项,

∴(5+3d)²=5(5+15d)，得d=5或d=0(舍).

(1)S=100×5+×5=25 250.

(2)∵b₁=a₁=5,b₃=a₄=20，∴q²==4.

∴q=2或q=-2(舍),b_n=5·2^n-1.

令5·2^n-1≤，

∴2ⁿ≤5 050.又2¹²＜5 050＜2¹³，即n＜13,且2¹²=4 096＜5 050,

∴n的最大值N=12.

(3)设有S_m=T_n,即5m+×5=5(2¹²-1)，整理得m²+m-8 190=0，

∴m=90＜100或m=-91(舍)，即存在m=90使S₉₀=T₁₂.