Question

（2010•龙岩二模）已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，f（x）g（x）=a^x，f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

5

2

．在区间[-3，0]上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  3

  8

• C．

  1

  2

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：根据函数积的导数公式，可知函数f（x）g（x）在R上是减函数，根据f（x）g（x）=a^x，f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

5

2

．我们可以求出函数解析式，从而可求出f（x）g（x）的值介于4到8之间时，变量的范围，利用几何概型的概率公式即可求得．

解答：解：由题意，∵f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，
∴[f（x）g（x）]'＜0，
∴函数f（x）g（x）在R上是减函数
∵f（x）g（x）=a^x，
∴0＜a＜1
∵f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=

5

2

．
∴a+

1

a

=

5

2

∴a=

1

2

∵f（x）g（x）的值介于4到8
∴x∈[-3，-2]
∴在区间[-3，0]上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是P=

-2+3

0+3

=

1

3

故选A．

点评：本题的考点是利用导数确定函数的单调性，主要考查积的导数的运算公式，考查几何概型，解题的关键是确定函数的解析式，利用几何概型求解．