Question

设连接双曲

x2

a2

-

y2

b2

=1与

y2

b2

-

x2

a2

=1（a＞0，b＞0）的4个顶点的四边形面积为S₁连接其4个焦点的四边形面积为S₂，则

S1

S2

的最大值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  2

• D、2

Answer 1

分析：先求出四个顶点、4个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积的最大值，再求出4个焦点
构成的正方形的面积 S₂，即得

S1

S2

的最大值．

解答：解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1与

y2

b2

-

x2

a2

=1（a＞0，b＞0）互为共轭双曲线，
四个顶点的坐标为（±a，0），（0，±b），4个焦点的坐标为 （±c，0），（0，±c），
四个顶点构成一个菱形，此菱形的边长为

a2+b2

=c，S₁ =

1

2

•2a•2b=2ab≤（a²+b²）=c²，
4个焦点的四边形构成一个正方形，此正方形的边长为

2

c，S₂=2c²，
∴则

S1

S2

的最大值为

c2

2c2

=

1

2

，
故选 A．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用基本不等式求出S₁ 的最大值，是解题的关键．