Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D满足等式

f(x1)+f(x2)

2

=M，则称M为函数y=f （x）的“均值”．
（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；
（2）若函数f（x）=ax²-2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．

Answer 1

分析：（1）根据均值的定义，要判断1是函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，即要验证

f(x1)+f(x2)

2

=x1+x2+1=1；
（2）函数f（x）=ax²-2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，当a=0时，f（x）=-2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为-3；当a≠0时，由f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x₁，都有唯一的x₂与之对应，从而有f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）单调，从而求得实数a的取值范围；
（3）根据（1），（2）的结论对于当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”；当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”，当为半开半闭区间时，函数f（x）不存在均值．

解答：解：（1）对任意的x₁∈[-1，1]，有-x₁∈[-1，1]，
当且仅当x₂=-x₁时，有

f(x1)+f(x2)

2

=x1+x2+1=1，
故存在唯一x₂∈[-1，1]，满足

f(x1)+f(x2)

2

=1，
所以1是函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”．
（2）当a=0时，f（x）=-2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为-3；
当a≠0时，由f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x₁，
都有唯一的x₂与之对应，从而有f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）单调，
故有

1

a

≤1或

1

a

≥2，
解得a≥1或a＜0或0＜a≤

1

2

，
综上，a的取值范围是a≤

1

2

或a≥1．　　　　　　　　　
（3）①当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．
这时函数f（x）的“均值”为

a+b

2

；　
②当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；　　　　　
③当I=（a，+∞）或（-∞，a）或[a，+∞）或（-∞，a]或[a，b）或（a，b]时，
函数f（x）不存在“均值”．　　　　　　　　　　　　　
①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．
这时函数f（x）的“均值”为

a+b

2

；　
②当且仅当I为（-∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；　　　　　
③当且仅当I形如（a，+∞）、（-∞，a）、[a，+∞）、（-∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，
函数f（x）不存在“均值”．

点评：此题是个中档题，考查函数单调性的理解，和学生的阅读能力，以及分析解决问题的能力，其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．