Question

画出不等式组

-x+y-2≤0 x+y-4≤0 x-3y+3≤0

表示的平面区域，并求出当x，y分别取何值时z=x²+y²有最大、最小值，并求出最大、最小值．

Answer 1

分析：画出满足不等式组

-x+y-2≤0 x+y-4≤0 x-3y+3≤0

表示的平面区域，由z=x²+y²表示可行域中动点（x，y）与原点距离的平方，结合图象分别求出满足条件的最值及对应的x，y值．

解答：解：满足不等式组

-x+y-2≤0 x+y-4≤0 x-3y+3≤0

表示的平面区域如下图所示：

z=x²+y²表示可行域中动点（x，y）与原点距离的平方
故Z的最大值为OA²，OB²，OC²中的最大值
∵OA²=

5

2

，OB²=

65

8

，OC²=10
故当x=1．y=3时，z=x²+y²有最大值为10
Z的最小值为O点到直线x-3y+3=0的距离的平方
此时d²=

9

10

此时垂足为直线x-3y+3=0和3x+y=0的交点，解得x=-

3

10

，y=

9

10

故当x=-

3

10

，y=

9

10

时，z=x²+y²有最小值为

9

10

点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中分析出目标函数z=x²+y²的几何意义是解答的关键．