Question

如图，正方体ABDC-A₁B₁C₁D₁，点M、N分别在   AD₁、AC₁上
（1）若AM=MD₁，AN=NC₁，试判断直线MN与A₁C₁的位置关系；并求MN与A₁C₁所成的角；
（2）若AM=2MD₁，AN=2NC₁，试判断直线MN与平面A₁B₁AB的关系，并证明．

Answer 1

分析：（1）取A₁D₁、D₁C₁的中点E、F，连接EF，根据中位线可知MN∥EF，而A₁B₁∥D₁C₁则∠D₁FE就是所求，在△D₁FE求出此角即可；
（2）直线MN与平面ABCD平行，欲证直线MN与平面ABCD平行，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面ABCD内一直线平行，分别过点M，N作底面的垂线交AD，DC于点P，Q，连接PQ，可证四边形PMNQ为平行四边形，从而MN||PQ，而PQ在平面ABCD内，满足定理所需条件．

解答：解：（1）直线MN与A₁C₁成异面直线．
取A₁D₁、D₁C₁的中点E、F，连接EF
∴MN∥EF，
又∵A₁B₁∥D₁C₁
∴∠D₁FE就是所求．
由题意得：△D₁FE为等腰直角三角形，∠D₁FE=45°
∴MN与A₁B₁所成的角为45°．（5分）
（2）直线MN与平面ABCD平行．
证明：分别过点M，N作底面的垂线交AD，DC于点P，Q，连接PQ．
∴MP||DD₁，NQ||CC₁，MP||NQ
∵AM=2MD₁，ND=2NC₁，
∴MP=

2

3

DD₁，NQ=

2

3

CC₁
∴MP=NQ，即四边形PMNQ为平行四边形，
∴MN||PQ
又∵PQ在平面ABCD内，
∴直线MN与平面ABCD平行．（10分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角的求法，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．