Question

已知满足不等式|x²-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3，则实数p的值为（ ）
A．-2
B．8
C．-2或8
D．不能确定

Answer 1

【答案】分析：依题意，“3”是对应方程|x²-4x+p|+|x-3|=5的一个解，代入得p=8或p=-2，再对p分类讨论，对p=2可先待定p后验证p．
解答：解：∵满足不等式|x²-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3，
∴“3”是不等式解的一个端点值，
∴“3”是对应方程|x²-4x+p|+|x-3|=5的一个解，代入得p=8或p=-2．
若p=8，x²-4x+8=（x-2）²+4＞0，
∴|x²-4x+8|+|x-3|≤5?x²-4x+8+|x-3|≤5，
若x＞3，则x²-4x+8+x-3≤5，解得0≤x≤3，故x不存在；
若x≤3，则x²-4x+8+3-x≤5，解得2≤x≤3，
∴x的最大值为3，符合题意．
当p=-2时，不等式为|x²-4x-2|+|x-3|≤5，易知5是不等式的解，故不等式有大于3的解，不满足题意．所以p=8．
综上所述，p=8．
故选B．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，由x的最大值为3注意到“3”是不等式解的一个端点值，利用不等式的性质得“3”是对应方程|x²-4x+p|+|x-3|=5的一个解，代入得p=8或p=-2是关键，也是亮点，先待定p后验证p的解法是好办法，属于难题．