Question

如果由数列{a_n}生成的数列{b_n}满足对任意的n∈N^*均有b_n+1＜b_n，其中b_n=a_n+1-a_n，则称数列{a_n}为“Z数列”．
（Ⅰ）在数列{a_n}中，已知a_n=-n²，试判断数列{a_n}是否为“Z数列”；
（Ⅱ）若数列{a_n}是“Z数列”，a₁=0，b_n=-n，求a_n；
（Ⅲ）若数列{a_n}是“Z数列”，设s，t，m∈N^*，且s＜t，求证：a_t+m-a_s+m＜a_t-a_s．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知b_n=a_n+1-a_n=-（n+1）²+n²=-2n-1，n∈N^*，由此可得b_n+1-b_n=-2（n+1）-1+2n+1=-2，所以b_n+1＜b_n，数列{a_n}是“Z数列”．
（Ⅱ）由题意知a_n-a_n-1=b_n-1=-（n-1），由此可知an=-

(n-1)n

2

（n≥2）．
Ⅲ）由a_s+m-a_s=（a_s+m-a_s+m-1）++（a_s+1-a_s）=b_s+m-1++b_s，a_t+m-a_t=（a_t+m-a_t+m-1）++（a_t+1-a_t）=b_t+m-1++b_t，
知b_s+m-1＞b_t+m-1，b_s+m-2＞b_t+m-2，，b_s＞b_t，所以a_t+m-a_t＜a_s+m-a_s，即a_t+m-a_s+m＜a_t-a_s．

解答：解：（Ⅰ）因为a_n=-n²，
所以b_n=a_n+1-a_n=-（n+1）²+n²=-2n-1，n∈N^*，（2分）
所以b_n+1-b_n=-2（n+1）-1+2n+1=-2，
所以b_n+1＜b_n，数列{a_n}是“Z数列”．（4分）
（Ⅱ）因为b_n=-n，
所以a₂-a₁=b₁=-1，a₃-a₂=b₂=-2，a_n-a_n-1=b_n-1=-（n-1），
所以an-a1=-1-2--(n-1)=-

(n-1)n

2

（n≥2），（6分）
所以an=-

(n-1)n

2

（n≥2），
又a₁=0，所以an=-

(n-1)n

2

（n∈N^*）．（8分）
（Ⅲ）因为a_s+m-a_s=（a_s+m-a_s+m-1）++（a_s+1-a_s）=b_s+m-1++b_s，a_t+m-a_t=（a_t+m-a_t+m-1）++（a_t+1-a_t）=b_t+m-1++b_t，
（10分）
又s，t，m∈N^*，且s＜t，所以s+i＜t+i，b_s+i＞b_t+i，n∈N^*，
所以b_s+m-1＞b_t+m-1，b_s+m-2＞b_t+m-2，，b_s＞b_t，（12分）
所以a_t+m-a_t＜a_s+m-a_s，即a_t+m-a_s+m＜a_t-a_s．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意计算能力的培养．