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设f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3

(Ⅰ)求f(x)的表达式;

(Ⅱ)是否存在正实数a,使得f(x)的图象的最高点在直线y=12上?若存在,求出正实数a的值;若不存在,请说明理由.

答案:
解析:

  热点分析  因为[2,3]关于x=1对称的区间是[-1,0],所以应先求出f(x)在区间[-1,0]内的解析式;而问题(Ⅱ)等价于[f(x)]max=12

  热点分析  因为[2,3]关于x=1对称的区间是[-1,0],所以应先求出f(x)在区间[-1,0]内的解析式;而问题(Ⅱ)等价于[f(x)]max=12.

  解答(Ⅰ)当x∈[-1,0]时,f(x)上的点P(x,y)与g(x)上的点Q(x0,y0)关于直线x=1对称,

  代入g(x)得

  f(x)=4x3-2ax(x∈[-1,0]).

  ∵f(x)是[-1,1]上的偶函数,∴当x∈[0,1]时,

  f(x)=f(-x)=4(-x)3-2a(-x)=-4x3+2ax;

  (Ⅱ)命题条件等价于[f(x)]max=12,因为f(x)为偶函数,所以只需考虑x∈[0,1]的情况.

  对f(x)求导得(x)=2(a-6x2)(x∈[0,1].

  ①当a≤0时,(x)<0,∴f(x)在[0,1]单调递减.

  ∴[f(x)]max=f(0)=12.无解

  ②当a>0时,(x)=12(-x)(+x)

  =0x=

  (i)当0<≤1,即0<a≤6时,

  x=是定义域内惟一的极大点,

  ∴[f(x)]max=f()=12x=3>6,

  不合题意;

  (ii)当>1,即a>6时,

  (x)>0,f(x)在[0,1]上递增,

  ∴[f(x)]max=f(1)=12a=8.

  综上,存在a=8使得f(x)的图象的最高点在直线y=12上.

  评析  综合了函数解析式的变换,函数性质及最热点的函数最值内容,这是常见的函数综合问题形式,在求最值时由于用求导的方法十分简单,因此没有必要考虑初等方法.


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  (I)证明:对任意的∈(O,1),,若f()≥f(),则(0,)为含峰区间:若f()f(),则为含峰区间:

  (II)对给定的r(0<r<0.5),证明:存在∈(0,1),满足,使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r:

  (III)选取∈(O,1),,由(I)可确定含峰区间为,在所得的含峰区间内选取,由类似地可确定一个新的含峰区间,在第一次确定的含峰区间为(0,)的情况下,试确定的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02,且使得新的含峰区间的长度缩短到0. 34(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)

 

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