Question

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G 是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ）求证：BD⊥EG．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AD∥EF，EF∥BC，知AD∥BC．由BC=2AD，G是BC的中点，知AD

∥

.

BG，故四边形ADGB是平行四边形，由此能够证明AB∥平面DEG．
（Ⅱ）由EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，知EF⊥AE，由AE⊥EB，知AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．由此能够证明BD⊥EG．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，
∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中点，
∴AD

∥

.

BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴AB∥DG．
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，
∴AB∥平面DEG．…（5分）
（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，
∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE．
过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD是平行四边形，
∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四边形BGHE为正方形，
∴BH⊥EG，
又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，
∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，
∴BD⊥EG．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平等的证明，考查异面直线垂直的证明．解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题，注意空间思维能力的培养．