Question

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x
（1）若函数没有零点，求实数m的取值范围；
（2）当m=0时，求证f（x）≥x²+x³．

Answer 1

分析：（1）由题意可得方程 x²+mx+m=0 无解，故有△=m²-4m＜0，由此求得实数m的取值范围．
（2）当m=0时，f（x）=x² •e^x，要证的不等式等价于x²（e^x -x-1）≥0．令g（x）=e^x -x-1，利用导数可得g（x）=e^x -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值为g（0）=0，g（x）≥0恒成立，x²（e^x -x-1）≥0成立，从而得到要证的不等式成立．

解答：解：（1）∵m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x 没有零点，
∴方程 x²+mx+m=0 无解，∴△=m²-4m＜0，解得 0＜m＜4，
故实数m的取值范围为（0，4）．
（2）当m=0时，f（x）=x² •e^x，不等式等价于 x² •e^x≥x²+x³ ，
等价于 x² •e^x-x² -x³≥0，等价于 x²（e^x -x-1）≥0．
令g（x）=e^x -x-1，当x＜0时，g′（x）=e^x -1＜0，故g（x）=e^x -x-1 在（-∞，0）上是减函数．
当x＞0时，g′（x）=e^x -1＞0，故g（x）=e^x -x-1 在（0，+∞）上是增函数．
故g（x）=e^x -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值为g（0）=0，故g（x）≥0恒成立，
∴x²（e^x -x-1）≥0成立，故要证的不等式成立．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．