Question

已知抛物线y²=8x的准线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=2

2

x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是（　　）

• A、

  x2

  16

  -

  y2

  2

  =1
• B、x²-

  y2

  8

  =1
• C、

  x2

  2

  -

  y2

  16

  =1
• D、

  x2

  8

  -y²=1

Answer 1

分析：由题意已知抛物线y²=8x的准线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，且△FAB是直角三角形，由圆锥曲线的对称性可求得A，B的坐标分别为（-2，±4），将此点代入双曲线方程，得a，b的一个方程组，再由渐近线方程是y=2

2

x，得到

b

a

=2

2

，联立即可求得a，b的值，既得双曲线的标准方程

解答：解：由题意抛物线y²=8x的准线为x=-2，焦点坐标是（2，0），又抛物线y²=8x的准线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A，B两点，△FAB是直角三角形知，A，B两点关于x轴对称，横坐标是-2，纵坐标是4与-4，将坐标（-2，±4）代入双曲线方程得

4

a2

-

16

b2

=1  ①
又由双曲线的一条渐近线方程是y=2

2

x，得

b

a

=2

2

，②
由①②解得a=

2

，b=4
所以双曲线的方程是

x2

2

-

y2

16

=1
故选C

点评：本题考查圆锥曲线的综合，解题的关键是根据两个圆锥曲线本身的对称性及抛物线y²=8x的性质求出A，B的坐标，得到关于参数a，b的方程，圆锥曲线在高中数学中是数形结合的最高点，做题时一定要注意从图形上挖掘出有价值的线索来．