Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1 =2a_n +3ⁿ，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由a_n+1 =2a_n +3ⁿ，得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}（\frac{3}{2}）^{n}$，然后利用累加法结合等比数列的前n项和求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由a_n+1 =2a_n +3ⁿ，得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}（\frac{3}{2}）^{n}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}（\frac{3}{2}）^{n}$，
则$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$，
$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}=\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{2}$，
$\frac{{a}_{4}}{{2}^{4}}-\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}=\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{3}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-1}$（n≥2）．
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}[\frac{3}{2}+（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{3}+…+（\frac{3}{2}）^{n-1}]$=$\frac{1}{2}×\frac{\frac{3}{2}[1-（\frac{3}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{3}{2}}$=$（\frac{3}{2}）^{n}-\frac{3}{2}$，
∴${a}_{n}={3}^{n}-{2}^{n}$（n≥2），
∵a₁=1上式成立，
∴${a}_{n}={3}^{n}-{2}^{n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是中档题．