Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y²=的焦点．PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AB的斜率为1，求四边形APBQ面积的最大值；
（3）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设椭圆C的方程为
∵椭圆的一个顶点恰好是抛物线y²=的焦点，∴a=
∵离心率等于，∴，∴c=1
∴b=1
∴椭圆C的方程为；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=x+t，代入椭圆方程，消元可得3x²+4tx+2t²-2=0
由△＞0，解得-＜t＜
由韦达定理得x₁+x₂=-t，x₁x₂=．
∵PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴，∴|PQ|=
∴四边形APBQ的面积S=××|x₁-x₂|=×
∴t=0时，Smax=；
（3）当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，
PA的直线方程为y-=k（x-1），与椭圆方程联立，消元可得（1+2k²）x²+（2k-4k²）x+k²-2k-1=0
∴x₁+1=-
同理x₂+1=-
∴x₁+x₂=，x₁-x₂=-
∴y₁-y₂=k（x₁+x₂）-2k=，x₁-x₂=-
∴
∴直线AB的斜率为定值．
分析：（1）根据离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y²=的焦点，易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．
（2）设出直线AB的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，求得四边形APBQ的面积，从而可求四边形APBQ面积的最大值；
（3）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，即可求得得出AB的斜率为定值．
点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．