Question

如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.

(1)证明:|PM|·|PN|为定值.
(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.

Answer 1

(1)见解析   (2) +1

(1)设P(x₀,x₀+)(x₀>0).
则|PN|=x₀,|PM|==,
因此|PM|·|PN|=1.
(2)连接OP,直线PM的方程为
y-x₀-=-(x-x₀),即y=-x+2x₀+.
解方程组
得x=y=x₀+,所以|OM|=x₀+.
S_{四边形OMPN}=S_△NPO+S_△OPM
=|PN|·|ON|+|PM|·|OM|
=x₀(x₀+)+(x₀+)
=+(+)
≥+1,
当且仅当x₀=,即x₀=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为+1.