【题目】底面是正方形的四棱锥中中,侧面
底面
,且
是等腰直角三角形,其中
,
分别为线段
的中点,问在线段
上是否存在点
,使得二面角
的余弦值为
,若存在,请求出点
的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】存在,为
的中点.
【解析】
试题分析:取的中点
,连接
,可证得
平面
,以
为原点,分别以射线
和
为
轴,
轴和
轴建立空间直角坐标系
,不妨设
,
,分别求出平面
和平面
的法向量,根据二面角的求法得到
的方程,求出其值,若满足
,则存在,否则不存在.
试题解析:取的中点
,连接
,
因为,所以
,
又因为侧面底面
,交线为
,所以
平面
,·······2分
以为原点,分别以射线
和
为
轴,
轴和
轴建立空间直角坐标系
如图,不妨设
,
则有,假设在
上存在符合题意的点
,
则,
因为侧面底面
,交线为
,且底面是正方形,
所以平面
,则
,
又,所以
平面
,即平面
的一个法向量为
,·······4分
设平面的法向理为
,由
即
,亦即
,可取
,·······6分
所以,
解得(舍去)
所以线段上存在点
,且
为
的中点,使得二面角
的余弦值为
.·······10分
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【题目】数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N* . (Ⅰ)证明:数列{ }是等差数列;
(Ⅱ)设bn=3n ,求数列{bn}的前n项和Sn .
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【题目】已知椭圆的离心率为
,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线
相切.
⑴求椭圆C的标准方程;
⑵已知点A、B为动直线与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在定点E,使得
为定值?若存在,试求出点E的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】设常数a∈R,函数f(x)=(a﹣x)|x|.
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)是奇函数,且关于x的不等式mx2+m>f[f(x)]对所有的x∈[﹣2,2]恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知数列的前
项和为
,
满足
,且
,正项数列
满足
,其前7项和为42.
(1)求数列和
的通项公式;
(2)令,数列
的前
项和为
,若对任意正整数
,都有
,求实数
的取值范围;
(3)将数列的项按照“当
为奇数时,
放在前面;当
为偶数时,
放在前面”的要求进行排列,得到一个新的数列:
,求这个新数列的前
项和
.
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【题目】某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(a﹣ )万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润为原来(1+
)倍.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多可以整出多少名员工从事第三产业;
(2)若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的最大取值是多少.
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【题目】如图,已知椭圆的左右顶点分别为
,右焦点为
,焦距为
,点
是椭圆C上异于
两点的动点,
的面积最大值为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线与直线
交于点
,试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系,并作出证明.
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【题目】在△ABC中,tanA是以﹣4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB是以2为公差,9为第五项的等差数列的第二项,则这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
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【题目】一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮,其圆心角∠POQ= ,半径为R=200m,房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼,为使得地皮的使用率最大,准备了两种设计方案如图,方案一:矩形ABCD的一边AB在半径OP上,C在圆弧上,D在半径OQ;方案二:矩形EFGH的顶点在圆弧上,顶点G,H分别在两条半径上.请你通过计算,为房产商提供决策建议.
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