Question

【题目】底面是正方形的四棱锥中中，侧面底面，且是等腰直角三角形，其中，分别为线段的中点，问在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】存在，为的中点.

【解析】

试题分析：取的中点，连接，可证得平面，以为原点，分别以射线和为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，不妨设，，分别求出平面和平面的法向量，根据二面角的求法得到的方程，求出其值，若满足，则存在，否则不存在.

试题解析：取的中点，连接，

因为，所以，

又因为侧面底面，交线为，所以平面，·······2分

以为原点，分别以射线和为轴，轴和轴建立空间直角坐标系如图，不妨设,

则有，假设在上存在符合题意的点，

则,

因为侧面底面，交线为，且底面是正方形，

所以平面，则，

又，所以平面，即平面的一个法向量为,·······4分

设平面的法向理为，由即，亦即，可取,·······6分

所以,

解得（舍去）

所以线段上存在点，且为的中点，使得二面角的余弦值为.·······10分