Question

某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p=

t+20 -t+100

，

0＜t＜25，t∈N， 25≤t≤30，t∈N．

该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？

Answer 1

分析：先设日销售金额为y元，根据y=P•Q写出函数y的解析式，再分类讨论：当0＜t＜25，t∈N₊时，和当25≤t≤30，t∈N₊时，分别求出各段上函数的最大值，最后综合得出这种商品日销售额的最大值即可．

解答：解：设日销售金额为y（元），则y=p•Q．
∴y=

-t2+20t+800 t2-140t+4000

0＜t＜25，t∈N， 25≤t≤30，t∈N.

=

-(t-10)2+900 (t-70)2-900

0＜t＜25，t∈N， 25≤t≤30，t∈N.

当0＜t＜25，t∈N，t=10时，y_max=900（元）；
当25≤t≤30，t∈N，t=25时，y_max=1125（元）．
由1125＞900，知y_max=1125（元），且第25天，日销售额最大

点评：本小题主要考查建立函数关系、分段函数等基础知识，解决实际问题的首要步骤：阅读理解，认真审题．本题的函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．