Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），则S₂₀₁₇=（　　）

• A． 2¹⁰¹⁰-1
• B． 2¹⁰¹⁰-3
• C． 3•2¹⁰⁰⁸-1
• D． 2¹⁰⁰⁹-3

Answer 1

分析 由数列的递推公式得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2，即可得到从第2项开始，每隔一项，即偶数项，以2为首项，以2为公比的等比数列，从第1项开始，每隔一项，即为奇数项，以1为首项，以2为公比的等比数列，分别根据等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴当n=1时，a₂•a₁=2，∴a₂=2，
∴a_n•a_n-1=2^n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴从第2项开始，每隔一项，即偶数项，以2为首项，以2为公比的等比数列，
从第1项开始，每隔一项，即为奇数项，以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴S₂₀₁₇=$\frac{1×（1-{2}^{1009}）}{1-2}$+$\frac{2×（1-{2}^{1008}）}{1-2}$=2¹⁰⁰⁹-1+2¹⁰⁰⁹-2=2¹⁰¹⁰-3，
故选：B

点评 本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于中档题