【题目】已知函数,记为的导函数.
(1)当时,若存在正实数,()使得,证明:;
(2)若存在大于1的实数,使得当时都有成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2)或
【解析】
(1)首先利用导数得到在上是增函数,然后由可得,即,然后利用基本不等式将其转化为,即,再结合的单调性即可得证;
(2)由可得或,利用导数得出的单调性,然后分或两种情况讨论,每种情况下结合的单调性即可求出的取值范围.
(1)当时,,
所以,故在上是增函数.
又,所以.
则有,整理得.
因为且,所以,于是.
整理得,即.
又函数在上单调递增,所以,即.
(2)当时,等价于,
即,或.
设,则,
所以当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
①考虑:存在大于1的实数,使得当时,都有成立.
取,则当时,要使得恒成立,只需要满足,解得.
②考虑:存在大于1的实数,使得时,都有成立.
若,即,则由在上单调递减且知,
必存在,使得当时,恒成立,故符合条件.
若,则,结合在上单调递减知,
当时,故不存在大于1的实数,使得当时,都有成立.
综上所述:或.
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【题目】十五巧板、又称益智图,为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明,它能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案.十五巧板由十五块板组成一个大正方形(如图1),其中标号为2,3,4,5的小板均为等腰直角三角形,图2是用十五巧板拼出的2019年生肖猪的图案,则从生肖猪图案中任取一点,该点恰好取自阴影部分中的概率为______.
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【题目】2019年底,湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者.为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析,某地研究机构针对该地实际情况,根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史,将新冠肺炎患者分为四类:有武汉旅行史(无接触史),无武汉旅行史(无接触史),有武汉旅行史(有接触史)和无武汉旅行史(有接触史),统计得到以下相关数据.
(1)请将列联表填写完整:
有接触史 | 无接触史 | 总计 | |
有武汉旅行史 | 27 | ||
无武汉旅行史 | 18 | ||
总计 | 27 | 54 |
(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系?
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知椭圆的离心率e满足,以坐标原点为圆心,椭圆C的长轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(0,1)的动直线(直线的斜率存在)与椭圆C相交于A,B两点,问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立?若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】经统计某射击运动员随机射击一次命中目标的概率为,为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率,现采用随机模拟的方法,先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数,用0,1,2表示没有击中,用3,4,5,6,7,8,9表示击中,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
9597,7424,7610,4281,7520,0293,7140,9857,0347,4373,
0371,6233,2616,8045,6011,3661,8638,7815,1457,5550.
根据以上数据,则可估计该运动员射击4次恰有3次命中的概率为( ).
A.B.C.D.
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【题目】已知函数的图象如图所示,给出四个函数:①,②,③,④,又给出四个函数的图象,则正确的匹配方案是( ).
A.①-甲,②-乙,③-丙,④-丁B.②-甲,①-乙,③-丙,④-丙
C.①-甲,③-乙,④-丙,②-丁D.①-甲,④-乙,③-丙,②-丁
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【题目】某中学高三年级在返校复学后,为了做好疫情防护工作,一位防疫督察员要将2盒完全相同的口罩和3盒完全相同的普通医用口罩全部分配给3个不同的班,每个班至少分得一盒,则不同的分法种数是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直,,//,.
(1)证明://平面BCE.
(2)设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ,求.
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