Question

已知O是△ABC的外心，且

OA

+

OB

=

OC

，|

AB

|=2

3

，P是线段AB上任一点（不含端点），实数λ，μ满足

CP

=λ

CA

| CA |

+μ

CB

| CB |

，则

1

λ

+

1

μ

的最小值是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据向量的加法法则和三角形外心的性质，证出四边形OACB是由两个正三角形拼成的菱形，由|

AB

|=2

3

算出|

OC

|=2且菱形的各边长都等于2．以O为原点，CO所在直线为x轴建立直角坐标系，可得A、B、C各点的坐标，设P（-1，y）可得

CP

=（1，y），结合题中向量等式证出正数λ，μ满足

1

2

(λ+μ)=1，由此结合基本不等式求最值，即可算出

1

λ

+

1

μ

的最小值．

解答：解：∵O是△ABC的外心，且

OA

+

OB

=

OC

，
∴以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，且对角线OC等于边长
因此，在菱形OACB中，△ACO与△BCO都是等边三角形
∵|

AB

|=2

3

，∴|

OC

|=|

OA

|=|

OB

|=|

CA

|=|

CB

|=2
以O为原点，CO所在直线为x轴，建立直角坐标系如图所示
可得A（-1，

3

），B（-1，-

3

），C（-2，0）
∴

CA

=（1，

3

），可得λ

CA

| CA |

=

λ

2

（1，

3

）=（

λ

2

，

3 λ

2

），
同理得μ

CB

| CB |

=

μ

2

（1，-

3

）=（

μ

2

，-

3 μ

2

）
因点P在直线AB：x=-1上，设P（-1，y），（-

3

＜y＜

3

），可得

CP

=（1，y）
∵

CP

=λ

CA

| CA |

+μ

CB

| CB |

=（

λ

2

，

3 λ

2

）+（

μ

2

，-

3 μ

2

）=（

1

2

(λ+μ)，

3

2

（λ-μ））
∴

1

2

(λ+μ)=1，可得λ+μ=2（λ＞0且μ＞0）
因此

1

λ

+

1

μ

=

1

2

(λ+μ)（

1

λ

+

1

μ

）=1+

1

2

（

μ

λ

+

λ

μ

）≥1+

1

2

×2

μ λ • λ μ

=2
当且仅当λ=μ=1时，

1

λ

+

1

μ

的最小值是2
故选：C

点评：本题给出特殊的三角形，在满足向量等式

CP

=λ

CA

| CA |

+μ

CB

| CB |

的情况下求

1

λ

+

1

μ

的最小值．着重考查了向量的加法法则、三角形的外心、向量的坐标运算和运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．