Question

某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5-8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．
（1）下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销量，单位；升），用哪个来描述人均A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由．
（A）y=ax²+bx（B）y=log_ax+b（C）y=a^x+b（D）y=x^a+b
（2）若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把你所选的模拟函数求出来．
（3）因为A饮料在B国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件的影响，A饮料在人均GDP低于3千美元和高于6千美元的地区销量下降5%，其它地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在各个地区中，年人均A饮料的销量最多为多少？

Answer 1

分析：（1）考虑到A，B，C，D四个函数中只有A符合题意，因为B，C，D三个函数是单调函数．然后用待定系数法求出A的解析式可得．
（2）根据题中人均GDP的要求范围把x的取值分成三段，分别求出每一段的最大值，并比较去最大即可．

解答：解：（1）用A来模拟比较合适因为B，C，D表示的函数在区间[0.5，8]上是单调的
因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x=1，y=2；x=4，y=5代入到y=ax²+bx得

2=a+b 5=16a+4b

?

a=- 1 4 b= 9 4

所以函数解析式为y=-

1

4

x2+

9

4

x(x∈[0.5，8])
（2）当x∈[0.5，3]时，y=-

19

80

[(x-

9

2

)2-

81

4

]，在x∈[0.5，3]上递增，所以ymax=

171

40

当x∈[6，8]时，y=-

19

80

[(x-

9

2

)2-

81

4

]，在x∈[6，8]上递减，所以ymax=

171

40

当x∈（3，6）时，y=-

9

40

[(x-

9

2

)2-

81

4

]，

9

2

∈(3，6)，所以ymax=

729

160

比较大小得：当x=

9

2

时，ymax=

729

160

答：当人均GDP在4.5千美元的地区，人均A饮料的销量最多为

729

160

点评：考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求二次函数的最值及比较出最值．