Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1．
当单调递减，
当单调递增．
所以函数f（x）在区间[1，3]上单调递增，又f（1）=0，
所以函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为0．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在时取得最小值，
又，可知．
由，可得．
所以当x∈（0，1），g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）单调递减．
所以函数g（x）（x＞0）在x=1时取得最大值，
又，可知，
所以对任意m，n∈（0，+∞），
都有f（m）≥g（n）成立．
分析：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，得f'（x）=lnx+1．由此能求出函数f（x）在区间[1，3]上的最小值．
（Ⅱ）由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在时取得最小值，知．由，得．所以函数g（x）（x＞0）在x=1时取得最大值，由此能够证明对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．
点评：本题考查函数f（x）在区间[1，3]上的最小值的求法和证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．