Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，且M是BC中点，点N在CC₁上．

(1)试确定点N的位置，使AB₁⊥MN；

(2)当AB₁⊥MN时，求二面角M-AB₁-N的大小．

Answer 1

解法Ⅰ：（1）连结MA、B₁M,过M作MN⊥B₁M交CC₁于点N.

在正△ABC中，AM⊥BC，又平面ABC⊥平面BC₁,

∴AM⊥平面BC₁ 

又MN平面BC₁  ∴MN⊥AM

又MN⊥B₁M  ∴MN⊥平面AMB₁

∴MN⊥AB₁ 

在Rt△B₁BM与Rt△MCN中，易知∠NMC=∠BB₁M

∴tan∠NMC=NC=tan∠B₁BM=

即NC= 

（2）过点M作ME⊥AB₁，垂点为E，连EN

由（1）知MN⊥平面AMB₁

∴EN⊥AB₁（三垂线定理）

∴∠MEN即为为二面角M-AB₁-N的平面角 

由AM⊥平面BC₁，知AM⊥B₁M

在Rt△AMB₁中，

AM=,B₁M=,AB₁=2

∴ME=,

又MN=

故在Rt△EMN中,

tan∠MEN= 

故二面角M-AB₁-N的大小为arctan 

法Ⅱ：（1）以点M为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则：

M（0,0,0）,B(1,0,0),A(0,-,0),B₁(1,0,2)

令N（-1,0,z） 

∴=(1,,2),=(-1,0,z) 

由AB₁⊥MN,知·=-1+2z=0

∴z=,即NC= 

(2)∵AM⊥BC,平面ABC⊥平面BC₁

∴AM⊥平面BC₁

∴AM⊥MN,又MN⊥AB₁  ∴MN⊥平面AMB₁

即=(-1,0,) 

设平面AB₁N的法向量为n=(x,y,1),

又n⊥,n⊥

且=(1,,2), =(-1,)

∴

故n=(-) 

∴·n=

而||=

∴cosθ==

故二面角M-AB₁-N的大小为arccos