Question

6．有一列向量$\left\{{\overrightarrow{a_n}}\right\}$：$\overrightarrow{a_1}=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow{a_2}=（{x_2}，{y_2}），…，\overrightarrow{a_n}=（{x_n}，{y_n}）$，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列$\left\{{\overrightarrow{a_n}}\right\}$，满足$\overrightarrow{a_1}=（-20，13）$，$\overrightarrow{a_3}=（-18，15）$，那么这列向量$\left\{{\overrightarrow{a_n}}\right\}$中模最小的向量的序号n=4或5．

Answer 1

分析 求出等差向量列的差向量，得出$\left\{{\overrightarrow{a_n}}\right\}$得通项公式，代入模长公式求解最小值．

解答 解：∵{$\overrightarrow{{a}_{n}}$}是等差向量列，∴{x_n}，{y_n}是等差数列，设{x_n}，{y_n}的公差分别是d₁，d₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-20+2{d}_{1}=-18}\\{13+2{d}_{2}=15}\end{array}\right.$，解得d₁=1，d₂=1，∴x_n=-20+n-1=n-21，y_n=13+n-1=n+12，∴$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（n-21，n+12）．
∴|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|²=（n-21）²+（n+12）²=2n²-18n+585=2（n-$\frac{9}{2}$）²-$\frac{81}{2}$+585．
∴当n=4或n=5时，|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|²取得最小值．
故答案为4或5．

点评 本题考查了数列与向量的综合应用，求出{$\overrightarrow{{a}_{n}}$}的通项公式是关键．